Kamis, 28 April 2011

Aturan Sinus dan Cosinus dalam Segitiga

Hukum sinus

Triangle.Labels.svg
Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan
{\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,
Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan
{a \over \sin A }={b \over \sin B }={c \over \sin C } = d.
Dapat ditunjukkan bahwa:
d = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^4+b^4+c^4) }}
di mana
s merupakan semi-perimeter
s = \frac{(a+b+c)} {2}

Turunan

Law of sines proof.png
Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.
Dapat diamati bahwa:
\sin A = \frac{h}{b} and \; \sin B = \frac{h}{a}
Kemudian:
h = b\,\sin A = a\,\sin B
dan
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}.
Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:
\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Hukum cosinus

Sebuah segitiga sembarang
Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut. Perhatikan gambar segitiga di kanan. Aturan kosinus menyatakan bahwa
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,
dengan \gamma\, adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut \gamma\,.
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,
Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh:
\cos \alpha\ = {b^2 + c^2 - a^2 \over 2bc}
\cos \beta\ = {a^2 + c^2 - b^2 \over 2ac}
\cos \gamma\ = {a^2 + b^2 - c^2 \over 2ab}

Hukum Kosinus Pertama

a = b \cos \gamma + c \cos \beta\,
b = c \cos \alpha + a \cos \gamma\,
c = a \cos \beta + b \cos \alpha\,

Hukum Kosinus Kedua

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\,
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta\,
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\,

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar